Étude d'une suite

On considère la suite réelle \({(u_n)}_{n\in\mathbb{N}}\) définie par \(u_0=-1,5\) et par: \[ \forall\,n\in\mathbb{N},\quad u_{n+1}=\mathrm{exp}(-u_n). \] On définit encore: \[ \begin{array}{ccccc} f & \colon & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & \mathrm{exp}(-x) \end{array} \] On donne les valeurs approchées des premiers termes des suites extraites \({(u_{2n})}_{n\in\mathbb{N}}\) et \({(u_{2n+1})}_{n\in\mathbb{N}}\) : \[ \begin{align*} u_{2n} &\simeq (-1.5, 0.01, 0,37, 0,50, 0,55, \ldots ) \\ u_{2n+1} &\simeq (4.48, 0.99, 0.69, 0.61, 0.58, \ldots) \end{align*} \] 1. Démontrer que si \(g\) est une fonction décroissante, alors \(g\circ g\) est une fonction croissante.
2. En déduire que \(f\circ f\) est croissante.
3. À l'aide d'un résultat de cours, déterminer rapidement la monotonie des suites extraites \({(u_{2n})}_{n\in\mathbb{N}}\) et \({(u_{2n+1})}_{n\in\mathbb{N}}\).
4. Déterminer les limites de \(f\circ f\) en \(\pm\infty\).
5. En déduire que \({(u_{2n})}_{n\in\mathbb{N}}\) et \({(u_{2n+1})}_{n\in\mathbb{N}}\) sont convergentes.
2. On admet que l'équation \(f\circ f(x)=x\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\) notée \(\ell\) et que \(\ell \simeq 0.567\). Démontrer que \({(u_{n})}_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\ell\).